📢
मराठी माध्यम / इयत्ता ८ / गणित / भूमिती - पायथागोरसचा सिद्धांत
भूमिती - पायथागोरसचा सिद्धांत
Previous Next

परिचय

पायथागोरसचा सिद्धांत हा भूमितीमधील एक महत्त्वाचा नियम आहे जो काटकोन त्रिकोणासाठी वापरला जातो. जेव्हा आपल्याला त्रिकोणाच्या दोन बाजू माहित असतात, तेव्हा तिसरी बाजू शोधण्यासाठी याचा वापर होतो.

 

 

संकल्पना स्पष्टीकरण

काटकोन त्रिकोणात ९० अंशाच्या कोणासमोर असलेल्या बाजूला 'कर्ण' म्हणतात. कर्ण ही त्रिकोणाची सर्वात मोठी बाजू असते.

सूत्र: पाया2 + उंची2 = कर्ण2

उप-विषय

भूमिती - पायथागोरसचा सिद्धांत

हा सिद्धांत सांगतो की काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा उरलेल्या दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.

उदाहरणे

उदाहरण 1: शिडीचे गणित

एक 10 मीटर लांब शिडी भिंतीला टेकवून ठेवली आहे. शिडीचे खालचे टोक भिंतीपासून 6 मीटर लांब आहे, तर ती भिंतीवर किती उंचीवर पोहोचेल?

पायरी 1: कर्ण (शिडी) = 10, पाया = 6, उंची = h
पायरी 2: 62 + h2 = 102 → 36 + h2 = 100
उत्तर: h2 = 64, म्हणून उंची = 8 मीटर.
Tricky Example: शेतातील रस्ता

एक शेतकरी आपल्या आयताकृती शेताच्या एका कोपऱ्यातून दुसऱ्या कोपऱ्यात तिरपा चालत गेला. जर शेताची लांबी 40 मीटर आणि रुंदी 30 मीटर असेल, तर त्याने कापलेले अंतर किती?

पायरी 1: तिरपा रस्ता म्हणजे काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण.
उत्तर: 402 + 302 = 1600 + 900 = 2500. कर्णाची लांबी = 50 मीटर.

ट्रिक्स आणि शॉर्टकट

  • पायथागोरसची त्रिकुटे: (3, 4, 5), (5, 12, 13) ही त्रिकुटे लक्षात ठेवा, यामुळे गणित लवकर सुटते.
  • पट पद्धत: जर (3, 4, 5) त्रिकूट असेल, तर त्याला 10 ने गुणल्यास (30, 40, 50) हे देखील त्रिकूट असते.

सामान्य चुका

  • कर्ण ओळखण्यात चूक: विद्यार्थी अनेकदा पायालाच कर्ण समजतात. ९० अंशाच्या समोरची बाजू नेहमी कर्ण असते.
  • वर्ग न करणे: काही मुले संख्यांचा वर्ग न करताच त्यांची बेरीज करतात, जे चुकीचे आहे.

सराव प्रश्न

सोपे प्रश्न (Easy)

  1. एका काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू 9 सेमी आणि 12 सेमी आहेत, तर कर्ण काढा.
  2. कर्ण 25 सेमी आणि एक बाजू 7 सेमी असल्यास दुसरी बाजू किती?
  3. Real-Life: एका आयताकृती मैदानाची लांबी 12 मीटर आणि रुंदी 5 मीटर आहे. मैदानाची तिरपी लांबी (कर्ण) किती?

मध्यम प्रश्न (Medium)

  1. एका चौरसाची बाजू 5 सेमी आहे, तर त्याच्या कर्णाची लांबी काढा.
  2. Tricky: जर त्रिकोणाच्या बाजू 8, 15 आणि 17 असतील, तर तो काटकोन त्रिकोण आहे का?
  3. एक पक्षी एका खांबाच्या टोकापासून (उंची 15 मीटर) जमिनीवरील दाण्यापर्यंत (अंतर 8 मीटर) उडत गेला. त्याने किती अंतर कापले?

कठीण प्रश्न (Hard)

  1. एका काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 24 चौ.सेमी असून पाया 6 सेमी आहे. त्याचा कर्ण शोधा.
  2. Tricky Real-Life: दोन झाडे अनुक्रमे 11 मीटर आणि 21 मीटर उंच आहेत. त्यांच्यामधील जमिनीवरील अंतर 24 मीटर असल्यास त्यांच्या शेंड्यांमधील अंतर किती?
  3. एका घराच्या खिडकीची उंची जमिनीपासून 9 मीटर आहे. तिथे पोहोचण्यासाठी 15 मीटरची शिडी वापरली, तर शिडीचे पाय भिंतीपासून किती लांब असतील?

सारांश

पायथागोरसचा सिद्धांत फक्त काटकोन त्रिकोणाला लागू होतो. पाया2 + उंची2 = कर्ण2 हे त्याचे मुख्य सूत्र आहे. गणित सोडवताना सर्वात आधी कर्ण ओळखावा.

30-60-90 मापाच्या त्रिकोणात सर्वात लहान बाजू 8 सेमी आहे, तर सर्वात मोठ्या बाजूची (कर्णाची) आणि उरलेल्या बाजूची बेरीज किती?

A
    
16 सेमी
B
    
24 सेमी
C
    
16 + 8√3 सेमी
D
    
24.5 सेमी
Explaination

जर PA ही उंची QB एवढीच असेल (PA = QB), तर काटकोन त्रिकोण PAS मध्ये पाया SA ची लांबी काढण्यासाठी योग्य मांडणी ओळखा.

A
    
SA² = 20² + PA²
B
    
SA² = 20² - PA²
C
    
SA = 20 - PA
D
    
SA² = PA² - 20²
Explaination
Whats New