📢
मराठी माध्यम / इयत्ता ८ / गणित / भूमिती - त्रिकोण गुणधर्म, एकरुपता
भूमिती - त्रिकोण गुणधर्म, एकरुपता
Previous Next

परिचय

भूमितीमध्ये त्रिकोण हा सर्वात महत्त्वाचा आकार आहे. तीन बाजू आणि तीन कोन असलेल्या बंद आकृतीला त्रिकोण म्हणतात. या पाठात आपण त्रिकोणाचे गुणधर्म आणि दोन त्रिकोण 'एकरूप' (Congruent) कधी असतात, हे शिकणार आहोत.

एकरूपतेच्या कसोट्या (Congruence Criteria)

दोन त्रिकोण एकरूप असण्यासाठी खालीलपैकी एका अटीची पूर्तता होणे आवश्यक आहे:

  • बा-बा-बा (SSS): एका त्रिकोणाच्या तीन बाजू दुसऱ्या त्रिकोणाच्या तीन संगत बाजूंशी समान असणे.
  • बा-को-बा (SAS): दोन बाजू आणि त्यांनी समाविष्ट केलेला कोन समान असणे.
  • को-बा-को (ASA): दोन कोन आणि त्यांच्यामधील बाजू समान असणे.
  • कर्ण-भुजा (RHS): काटकोन त्रिकोणात कर्ण आणि एक बाजू समान असणे

 

 

त्रिकोणाचे विविध प्रकार आणि त्यांच्या एकरूपतेच्या अटी दर्शवणारी आकृती.

संकल्पना स्पष्टीकरण

त्रिकोणाच्या तीनही कोनांच्या मापांची बेरीज नेहमी 180 अंश असते. जेव्हा दोन त्रिकोण एकमेकांवर तंतोतंत जुळतात, तेव्हा त्यांना एकरूप त्रिकोण म्हणतात. यासाठी बा-को-बा, को-बा-को, बा-बा-बा आणि कर्ण-भुजा यांसारख्या कसोट्या वापरल्या जातात.

त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180 अंश असते आणि बाह्य कोनाचे माप हे त्याच्या दूरस्थ आंतरकोनांच्या बेरजेइतके असते.

उप-विषय

भूमिती - त्रिकोण गुणधर्म, एकरुपता

त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबीची बेरीज ही तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा नेहमी जास्त असते. एकरूपतेसाठी त्रिकोणाचे घटक (बाजू आणि कोन) समान असणे आवश्यक आहे.

उदाहरणे

उदाहरण 1 (Real-Life)
एका बागेत दोन त्रिकोणी कापडी तंबू लावायचे आहेत. जर दोन्ही तंबूंच्या बाजूंची लांबी 3 मीटर, 4 मीटर आणि 5 मीटर असेल, तर ते तंबू एकरूप असतील का?
उत्तर: हो, बा-बा-बा कसोटीनुसार ते एकरूप आहेत.
उदाहरण 2 (Tricky Example)
जर त्रिकोण ABC मध्ये कोन A = 90 अंश आणि त्रिकोण PQR मध्ये कोन P = 90 अंश असेल, तर ते फक्त एका कोनामुळे एकरूप होतील का?
उत्तर: नाही. केवळ एक कोन समान असून चालत नाही; बाजूंची लांबी किंवा इतर कोनही समान असणे आवश्यक आहे.
उदाहरण 3 (Tricky Example) (Real-Life)
एका इंजिनिअरला पुलासाठी दोन त्रिकोणी आधार बनवायचे आहेत. त्याने दोन्ही त्रिकोणांचे दोन कोन 50 आणि 60 अंश मोजले, पण बाजू वेगवेगळ्या लांबीच्या घेतल्या. हे आधार एकरूप असतील का?
उत्तर: नाही. केवळ कोन समान असून चालत नाही (AAA ही कसोटी नाही). तंतोतंत जुळण्यासाठी किमान एक संगत बाजू समान असणे अनिवार्य आहे.
उदाहरण 4
एका समद्विभुज त्रिकोणात (Isosceles Triangle) शिरोबिंदूतून काढलेला लंब पायाला दोन त्रिकोणांत विभागतो. हे दोन त्रिकोण कोणत्या कसोटीने एकरूप होतील?
उत्तर: कर्ण-भुजा (RHS) किंवा बा-को-बा (SAS) कसोटीने. कारण शिरोलंबामुळे काटकोन तयार होतो, दोन्ही त्रिकोणांचा कर्ण (मूळ त्रिकोणाच्या समान बाजू) सारखा असतो आणि शिरोलंब ही सामाईक बाजू असते.

ट्रिक्स आणि शॉर्टकट

1. बा-को-बा (SAS) लक्षात ठेवताना नेहमी 'कोन' हा दोन 'बाजूंमध्ये' अडकलेला असावा हे लक्षात ठेवा.
2. काटकोन त्रिकोण दिसल्यास सर्वात आधी 'कर्ण-भुजा' (RHS) कसोटी तपासा.
3. सामाईक बाजू (Common Side) नेहमी शोधा; ती एकरूपतेसाठी तिसरा महत्त्वाचा घटक ठरू शकते.
4. 'बा-बा-को' (SSA) ही एकरूपतेची कसोटी नाही, हे नेहमी लक्षात ठेवा.

सामान्य चुका

1. मुले को-को-को (AAA) ही एकरूपतेची कसोटी समजतात, पण ती केवळ समरूपतेसाठी असते.
2. त्रिकोणाच्या बाजूंची बेरीज 180 समजणे (कोनांची बेरीज 180 असते, बाजूंची नाही).
3. 'को-को-को' (AAA) वापरून त्रिकोण एकरूप दाखवणे. हे चुकीचे आहे, कारण यामुळे त्रिकोण फक्त 'समरूप' (एकसारखे दिसणारे) होतात.
4. संगती (Correspondence) चुकीची लिहिणे. जर त्रिकोण ABC एकरूप त्रिकोण PQR असेल, तर बाजू AB ही PQ शीच संगत हवी.

सराव प्रश्न

सोपे प्रश्न (Easy)

  1. एका त्रिकोणाचे दोन कोन 60 अंश आणि 40 अंश आहेत, तर तिसरा कोन किती?
  2. जर दोन त्रिकोणांच्या सर्व बाजू समान असतील, तर ती कोणती कसोटी असेल?
  3. (Real-life) तुमच्याकडे 2 सेमी, 3 सेमी आणि 6 सेमीच्या काड्या आहेत. तुम्ही त्रिकोण बनवू शकाल का? (Tricky)
  4. एका त्रिकोणाचे दोन कोन 70 आणि 50 अंश आहेत, तर तिसरा कोन शोधा.
  5. जर त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू 5 सेमी असतील, तर तो कोणत्या प्रकारचा त्रिकोण आहे?
  6. दोन त्रिकोणांत तिन्ही संगत बाजू समान असल्यास कोणती कसोटी लागेल?

मध्यम प्रश्न (Medium)

  1. ABC आणि PQR मध्ये AB=PQ, BC=QR आणि कोन B = कोन Q आहे. एकरूपता सिद्ध करा.
  2. (Real-life) दोन शिड्या भिंतीला टेकवल्या आहेत. त्यांची लांबी आणि जमिनीशी केलेला कोन समान असल्यास त्या एकरूप आहेत का?
  3. समद्विभुज त्रिकोणाचे दोन कोन समान असल्यास तिसरा कोन शोधण्याचे सूत्र काय? (Tricky)
  4. काटकोन त्रिकोणात एक कोन 40 अंश असेल, तर उरलेल्या कोनाचे माप किती?
  5. (Real-life) एका बागेत दोन त्रिकोणी रस्ते आहेत. त्यांच्या दोन बाजू 10 मीटर आणि मधला कोन 90 अंश आहे. ते एकरूप आहेत का?
  6. (Tricky) त्रिकोण ABC मध्ये कोन A = 110 अंश आहे. या त्रिकोणात दुसरा कोन 80 अंश असू शकतो का? का?

कठीण प्रश्न (Hard)

  1. कर्ण-भुजा कसोटी सिद्ध करण्यासाठी किमान कोणत्या अटींची पूर्तता व्हावी लागते?
  2. (Real-life) एका पुलाच्या बांधकामात दोन त्रिकोणी आधार दिले आहेत. जर त्यांचे कोन समान असतील पण आकार मोठा-लहान असेल, तर ते एकरूप का नाहीत?
  3. एका त्रिकोणाची परिमिती 15 सेमी आहे. त्याच्या बाजू 3:4:5 प्रमाणात असल्यास बाजूंची लांबी शोधा आणि तो काटकोन आहे का ते ओळखा. (Tricky)
  4. (Real-life) एका आर्किटेक्टने दोन त्रिकोणी काचा वापरल्या आहेत. पहिल्या काचेच्या बाजू 3, 4, 5 मीटर आहेत. दुसऱ्या काचेचे दोन कोन 90 आणि 37 अंश आहेत आणि कर्ण 5 मीटर आहे. त्या एकरूप आहेत का? सिद्ध करा.
  5. एका चौरसाच्या कर्णाने तयार झालेले दोन त्रिकोण कोणत्या कसोटीने एकरूप होतात? सर्व संभाव्य कसोट्या सांगा.
  6. (Tricky) जर त्रिकोण PQR मध्ये PQ = PR आहे आणि कोनांची बेरीज 180 आहे, तर जर शिरोकोन 40 अंश असेल, तर पायालगतच्या कोनांचे माप काढून एकरूपता सिद्ध करा.

सारांश

त्रिकोण हा तीन बाजूंनी बनतो. कोनांची बेरीज 180 असते. एकरूपतेसाठी बाजू आणि कोनांची विशिष्ट जोडी समान असणे गरजेचे आहे.
त्रिकोणांची एकरूपता ठरवण्यासाठी SSS, SAS, ASA आणि RHS या चार कसोट्या महत्त्वाच्या आहेत. संगत घटक ओळखणे हा एकरूपता शिकण्याचा पाया आहे.


△ ABM आणि △ACM हे कोणत्या कसोटीनुसार एकरूप आहेत? 

A
    
बाकोबा
B
    
बाबाबा
C
    
कोबाको
D
    
कर्ण-भुजा
Explaination

एका समकोण त्रिकोणाचा परिघ 60 से.मी. आहे आणि त्याची कर्ण (hypotenuse) 26 से.मी. आहे. तर त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती?

A
    
120  से.मी² 
B
    
240 से.मी² 
C
    
390  से.मी²
D
    
780 से.मी²
Explaination
Whats New