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बीजगणित - बहुपद, उस पर की जानेवाली क्रिया तथा गुणनखंड
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परिचय

बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर (variable) की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या होती है। जैसे हम अलग-अलग सिक्कों को गिनते हैं, वैसे ही बहुपद में हम अलग-अलग पदों को जोड़ते या घटाते हैं।

संकल्पना समझ

बहुपद में एक या एक से अधिक पद हो सकते हैं। इन पर हम जोड़, घटाव और गुणा जैसी क्रियाएँ कर सकते हैं। गुणनखंड (Factoring) वह प्रक्रिया है जिससे हम एक बड़े बहुपद को छोटे गुणांकों में बांटते हैं।

उप-विषय

बहुपद, उस पर की जानेवाली क्रिया तथा गुणनखंड

समान घात वाले पदों को ही आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है। गुणा करते समय एक बहुपद के हर पद को दूसरे बहुपद के हर पद से गुणा करना पड़ता है।

उदाहरण

उदाहरण 1 (Real-life)

यदि एक सेब की कीमत x है और एक संतरे की कीमत y है। आपने 2 सेब और 3 संतरे खरीदे। कुल कीमत क्या होगी?

व्यंजक: 2x + 3y
उत्तर: 2x + 3y
Tricky Example

क्या x2 + 2x + 3 का गुणनखंड (x+1)(x+3) है?

गुणा करके देखें: x(x+3) + 1(x+3) = x2 + 3x + x + 3 = x2 + 4x + 3.
उत्तर: नहीं, क्योंकि मध्य पद अलग है। यह गहरी समझ की जाँच करता है।

बहुपदों का जोड़ (Addition)

केवल 'समान पदों' को ही जोड़ें।

उदाहरण

उदाहरण 1 (Real-life)

राम के पास 2x चॉकलेट हैं और श्याम के पास 3x। कुल कितनी हुईं?

उत्तर: 5x
ट्रिक: समान घात (Power) वाले चरों को एक साथ रखें।

बहुपदों का घटाव (Subtraction)

घटाते समय दूसरे बहुपद के सभी चिन्ह बदल जाते हैं।

ट्रिक: ब्रैकेट खोलते समय (-) को अंदर के हर पद से गुणा करें।

बहुपदों का गुणा (Multiplication)

संख्याओं का गुणा करें और चरों की घातों को जोड़ दें।

उदाहरण

Tricky Example

(x+2) * (x-2) का मान क्या होगा?

सूत्र a2 - b2 का प्रयोग करें।
उत्तर: x2 - 4

बहुपदों का भाग (Division)

भाग देते समय घातों (Exponents) को घटाया जाता है।

ट्रिक: यदि अंश (Numerator) में xn और हर (Denominator) में xm है, तो उत्तर xn-m होगा।

ट्रिक्स और शॉर्टकट

  • गुणनखंड करते समय हमेशा पहले 'Common' (उभयनिष्ठ) पद बाहर निकालें।
  • चिन्हों का ध्यान रखें: (- ) * (-) = (+) और (+) * (-) = (-)।

सामान्य गलतियाँ

  • x + x को x2 लिखना (सही उत्तर 2x है)।
  • अलग-अलग घात वाले चरों को जोड़ देना, जैसे x2 + x = 2x2 (यह गलत है)।

अभ्यास प्रश्न

आसान प्रश्न (Easy)

  1. 5a + 2a - 3a को सरल करें।
  2. 4x2 + 3x + 2 में पदों की संख्या कितनी है?
  3. (Tricky) क्या 0 एक बहुपद है?
  4. हल करें: 4x + 6x.
  5. घटाएं: 5a - 2a.
  6. (Tricky) क्या x2 और x समान पद हैं?

मध्यम प्रश्न (Medium)

  1. (a + b)(a - b) का मान निकालें।
  2. (3x2 + 5x + 2) में से (2x2 + 2x + 1) घटाएं।
  3. (Real-life) एक आयताकार मेज की लंबाई 2x और चौड़ाई 3x है। उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
  4. गुणा करें: x(x + 5).
  5. (Real-life) एक पेन की कीमत x+2 रुपये है, तो 5 पेन की कीमत क्या होगी?
  6. सरल करें: (2x2) * (3x).

कठिन प्रश्न (Hard)

  1. x2 + 5x + 6 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
  2. (Tricky) यदि किसी बहुपद की घात 2 है और वह x=1 पर शून्य हो जाता है, तो उसका एक गुणनखंड क्या होगा?
  3. (Real-life) एक बस x+2 घंटे में x2 + 5x + 6 किलोमीटर की दूरी तय करती है। बस की गति (Speed) ज्ञात कीजिए।
  4. भाग दें: (8x2 + 4x) / 2x.
  5. (Tricky) (x+3) और (x-3) का गुणा करें।
  6. (Real-life) एक खेत का क्षेत्रफल x2 + 5x है। यदि उसकी चौड़ाई x है, तो लंबाई ज्ञात करें।

सारांश

बहुपद गणित का आधार हैं। इसमें चरों की घात धनात्मक पूर्णांक होती है। जोड़-घटाव के लिए समान पदों का होना जरूरी है और गुणनखंड से हम जटिल व्यंजकों को सरल बनाते हैं।

जोड़ और घटाव में पदों का समान होना अनिवार्य है। गुणा में घातें जुड़ती हैं और भाग में घटती हैं।

यदि  a+b+c = 0 है, तो a2/bc + b2/ac + c2/ab?  का मान क्या है

A
    
0
B
    
1
C
    
3
D
    
-3
Explaination

(x2- 7x)2- 8(x2- 7x) - 180 निम्नलिखित में से कौन से बहुपद के पद हैं?

A
    
(x-9) (x+2) (x-10) (x+3)
B
    
(x-9) (x+2) (x-5) (x+6)
C
    
(x-18) (x+10) (x2-7x)
D
    
(x2-7x-18) (x2-7x+10)
Explaination
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