संख्या पर की जानेवाली क्रियाएँ - घातांक
परिचय
जब एक ही संख्या को बार-बार गुणा किया जाता है, तो उसे संक्षिप्त रूप में लिखने की विधि को 'घातांक' कहते हैं।
संकल्पना समझ
घातांक में नीचे वाली संख्या को 'आधार' (Base) और ऊपर वाली संख्या को 'घातांक' (Index) कहा जाता है।
उप-विषय
संख्या पर की जानेवाला क्रियाएँ - घातांक
घातांक के नियम गणना को सरल बनाते हैं।
मुख्य नियम (Equation Basis)
- am × an = am+n
- am ÷ an = am-n
- (am)n = am × n
उदाहरण
उदाहरण 1: भाग का नियम
हल करें: 75 ÷ 73
नियम के अनुसार: 75-3 = 72.
उत्तर = 49.
Tricky Example (पेचीदा उदाहरण)
क्या 23 और 32 बराबर हैं?
23 = 2 × 2 × 2 = 8.
32 = 3 × 3 = 9.
नहीं, आधार और घातांक बदलने पर मान बदल जाता है।
ट्रिक्स और शॉर्टकट
- शून्य की शक्ति: किसी भी संख्या की घात 0 हो तो मान 1 होता है।
- सम-विषम ट्रिक: ऋणात्मक आधार (-ve base) होने पर यदि घात सम (Even) है तो उत्तर धनात्मक (+ve) होगा।
- 10 की घात: 10 की जितनी घात होती है, 1 के आगे उतने ही शून्य (0) लगते हैं। जैसे 103 = 1000.
सामान्य गलतियाँ
- जोड़ते समय घातांकों को जोड़ना (उदा. 32 + 33 = 35 कहना गलत है)।
- ऋणात्मक चिन्ह को नजरअंदाज करना।
अभ्यास प्रश्न
आसान प्रश्न (Easy)
- 43 का मान ज्ञात करें।
- (95)0 का मान क्या होगा?
- Tricky Question: 150 का मान क्या है?
मध्यम प्रश्न (Medium)
- सरल करें: 22 × 23.
- वास्तविक जीवन प्रश्न: एक वर्गाकार मैदान की भुजा 102 मीटर है। इसका क्षेत्रफल घातांक रूप में लिखें।
- Tricky Question: (-5)3 का मान धनात्मक होगा या ऋणात्मक?
कठिन प्रश्न (Hard)
- हल करें: (56 ÷ 54) × 52.
- वास्तविक जीवन प्रश्न: एक कंप्यूटर वायरस हर सेकंड में 2 गुना फैलता है। 10 सेकंड बाद वायरस की संख्या घातांक रूप में क्या होगी?
- Tricky Question: (-1)99 + (-1)100 का मान निकालें।
सारांश
समान आधार होने पर गुणा में घातांक जुड़ते हैं और भाग में घटते हैं। किसी भी संख्या की घात 0 होने पर उत्तर 1 होता है।