परिचय
बहुपदी म्हणजे काय? जेव्हा एखाद्या बैजिक राशीमध्ये चलाचा घातांक ही पूर्ण संख्या असते, तेव्हा त्या राशीला 'बहुपदी' म्हणतात. उदाहरणादाखल, आपण फळांच्या टोपल्यांचे गट मोजतो, तसेच गणितात आपण चलांचे गट मोजतो.
संकल्पना स्पष्टीकरण
एका पेक्षा जास्त पदे असलेल्या राशीला आपण बहुपदी म्हणतो. यामध्ये बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकार या क्रियांचा समावेश होतो. बहुपदीचे अवयव पाडणे म्हणजे मोठ्या राशीला छोट्या गुणाकाराच्या स्वरूपात मांडणे होय.
उप-विषय
बहुपदी, त्यावरील क्रिया व अवयव
बहुपदींची बेरीज करताना सारखी पदे एकत्र मिळवावी लागतात. गुणाकार करताना प्रत्येक पदाने दुसऱ्या बहुपदीतील प्रत्येक पदाला गुणावे लागते.
उदाहरणे
उदाहरण 1 (Real-life)
जर एका चॉकलेटची किंमत x रुपये असेल आणि तुम्ही ३ चॉकलेट्स आणि 5 रुपयांची बिस्किटे घेतली, तर एकूण खर्च किती?
Tricky Example
राशी 5/x + 2 ही बहुपदी आहे का?
बहुपदींची बेरीज (Addition)
बेरीज करताना फक्त 'समान पदे' (Like Terms) एकत्र मिळवावीत. समान पदे म्हणजे ज्यांचे चल आणि घातांक सारखे असतात.
उदाहरणे
उदाहरण 1 (Real-life)
एका टोपलीत 3x आंबे आणि 5 सफरचंद आहेत. दुसऱ्या टोपलीत 2x आंबे आणि ३ सफरचंद आहेत. एकूण फळे किती?
बहुपदींची वजाबाकी (Subtraction)
वजाबाकी करताना दुसऱ्या बहुपदीच्या प्रत्येक पदाचे चिन्ह बदलावे लागते.
उदाहरणे
Tricky Example
(5x2 + 4) मधून (2x2 - 3) वजा करा.
बहुपदींचा गुणाकार (Multiplication)
गुणाकार करताना घातांकांच्या नियमानुसार चलांच्या घातांकांची बेरीज होते.
उदाहरणे
उदाहरण 1
3x * (2x + 4)
बहुपदींचा भागाकार (Division)
भागाकार करताना भाजकाच्या पहिल्या पदाने भाज्याच्या पहिल्या पदाला भाग द्यावा.
उदाहरणे
उदाहरण 1
(x2 + 5x) ला x ने भागा.
ट्रिक्स आणि शॉर्टकट
- नेहमी बहुपदी घातांकाच्या उतरत्या क्रमाने लिहा, ज्यामुळे बेरीज सोपी होते.
- जर (a+b)(a-b) असे रूप असेल, तर थेट a2 - b2 हे सूत्र वापरा.
सामान्य चुका
- चलाचा घातांक वजा किंवा अपूर्णांक असल्यास त्याला बहुपदी समजणे.
- वजाबाकी करताना दुसऱ्या कंसातील सर्व पदांची चिन्हे न बदलणे.
- x + x = x2 लिहिणे (योग्य उत्तर 2x आहे).
- गुणाकार करताना घातांकांची बेरीज करायला विसरणे.
सराव प्रश्न
सोपे प्रश्न (Easy)
- 2x + 5x ची बेरीज करा.
- खालीलपैकी बहुपदी ओळखा: 3x2 + 2 की 2√x.
- x = 2 असताना 3x + 4 ची किंमत काढा. (Real-life: जर एका तिकिटाची किंमत x असेल, तर २ तिकिटांचे पैसे किती?)
- बेरीज करा: (7x + 2) + (3x + 1).
- (Tricky) x + y ची बेरीज xy होते का? का ते सांगा.
- गुणाकार करा: 2 * (x + 5).
मध्यम प्रश्न (Medium)
- (x + 3)(x + 2) यांचा गुणाकार करा.
- x2 - 9 चे अवयव पाडा.
- (Tricky) 4x2 + 0x + 5 मध्ये x चा सहगुणक काय आहे?
- वजाबाकी करा: (4x2 + 5x) - (x2 + 2x).
- एका चॉकलेटची किंमत x रुपये आहे, तर (x+2) चॉकलेट्सची किंमत किती? (Real-life)
- (Tricky) x2 * x3 चे उत्तर काय येईल?
कठीण प्रश्न (Hard)
- (x2 + 5x + 6) या बहुपदीचे अवयव पाडा.
- एका आयताची लांबी (x+5) आणि रुंदी (x+2) आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ बहुपदीच्या रूपात काढा. (Real-life)
- (Tricky) जर P(x) = x2 - 5x + 6 असेल, तर P(2) ची किंमत काय येईल?
- (x + 3)(x + 2) चा गुणाकार करून उत्तर काढा.
- (x2 + 7x + 10) / (x + 2) चा भागाकार करा.
- (Tricky Real-life) जर एका आयताचे क्षेत्रफळ x2 + 5x असेल आणि त्याची लांबी x असेल, तर त्याची रुंदी किती?
सारांश
बहुपदीमध्ये चलाचा घातांक नेहमी पूर्ण संख्या असतो. आपण बहुपदींची बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकार करू शकतो. अवयव पाडल्यामुळे गुंतागुंतीची समीकरणे सोपी होतात.
बेरीज-वजाबाकीत समान पदे लागतात, गुणाकारात घातांकांची बेरीज होते आणि भागाकारात घातांकांची वजाबाकी होते.