संख्यावरील क्रिया - गुणोत्तर, प्रमाण व चलन (काळ, काम, वेग इ.)
परिचय
गुणोत्तर आणि प्रमाण आपल्याला दोन रकमांची तुलना करण्यास शिकवते. जेव्हा आपण 'काळ, काम आणि वेग' यांचा विचार करतो, तेव्हा व्यस्त चलनाची भूमिका महत्त्वाची ठरते. उदाहरणार्थ, सायकलचा वेग वाढवला की शाळेत पोहोचायला कमी वेळ लागतो.
संकल्पना स्पष्टीकरण
गुणोत्तर म्हणजे भागाकाराद्वारे केलेली तुलना. काळ आणि काम या उदाहरणांमध्ये, मजुरांची संख्या आणि लागणारे दिवस यांचा गुणाकार नेहमी स्थिर असतो. यालाच आपण 'व्यस्त चलन' म्हणतो.
उप-विषय
संख्यावरील क्रिया - गुणोत्तर, प्रमाण व चलन (काळ, काम, वेग इ.)
यामध्ये आपण प्रामुख्याने काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारा वेळ आणि वाहनांचा वेग कसा काढायचा हे शिकतो.
उदाहरणे
उदाहरण 1: साधे प्रमाण
एका कारचा वेग 60 किमी/तास आहे, तर ती 3 तासात किती अंतर कापेल?
अंतर = वेग × वेळ = 60 × 3 = 180 किमी.
Tricky Example: मजुरांची संख्या
5 मजूर एक काम 12 दिवसात करतात, तर तेच काम 10 मजूर किती दिवसात करतील?
एकूण काम = 5 × 12 = 60 काम-दिवस. 10 मजुरांना लागणारे दिवस = 60 / 10 = 6 दिवस.
ट्रिक्स आणि शॉर्टकट
- 'गुणाकार पद्धत' (M1D1 = M2D2): कामाच्या उदाहरणात (पहिले मजूर × पहिले दिवस = दुसरे मजूर × दुसरे दिवस) हे सूत्र वापरा. उत्तर काही सेकंदात येईल!
- वेगाची अदलाबदल: जर दोन गाड्यांच्या वेगाचे गुणोत्तर 2:3 असेल, तर त्यांना लागणाऱ्या वेळेचे गुणोत्तर 3:2 असते. फक्त अंकांची उलटापालट करा.
सामान्य चुका
- मजूर वाढले की दिवस वाढतात असे समजणे. (हे व्यस्त चलन आहे, दिवस कमी होतील!)
- तास आणि मिनिटे यांची एकत्र बेरीज किंवा वजाबाकी करणे.
सराव प्रश्न
सोपे प्रश्न (Easy)
- 24 आणि 36 या संख्यांचे संक्षिप्त गुणोत्तर काढा.
- एका पेनची किंमत 10 रुपये असल्यास 15 पेनची किंमत किती?
- Tricky Question: जर 1:1 गुणोत्तर असेल, तर दोन्ही वस्तू समान आहेत का?
मध्यम प्रश्न (Medium)
- 8 मजूर एक काम 15 दिवसात करतात, तर 12 मजूर ते काम किती दिवसात करतील?
- एक विमान 900 किमी अंतर 2 तासात कापते, तर त्याचा वेग किती?
- Tricky Real-Life: 5 किलो साखरेची किंमत 200 रुपये आहे, तर 3 किलोची किती?
कठीण प्रश्न (Hard)
- 'अ' एक काम 6 दिवसात व 'ब' 12 दिवसात करतो, तर दोघांना मिळून किती दिवस लागतील?
- एका टाकीला दोन नळ आहेत. पहिला 4 तासात भरतो व दुसरा 6 तासात रिकामी करतो. दोन्ही सुरू ठेवल्यास टाकी कधी भरेल?
- Tricky Real-Life: एका गाडीचा वेग 20% ने वाढवला, तर त्याच अंतरासाठी लागणारा वेळ किती टक्क्यांनी कमी होईल?
सारांश
चलन ओळखणे सर्वात महत्त्वाचे आहे. काळ-काम मध्ये व्यस्त चलन असते तर खरेदी-विक्रीत समचलन असते. M1D1 सूत्र लक्षात ठेवा.
जर x हे y शी समचलनात आहे आणि जेव्हा x=15 तेव्हा y=25 आहे, तर जेव्हा y=10 असेल तेव्हा x ची किंमत किती?
A
4
B
8
C
6
D
12
जर x आणि y व्यस्त चलनात असतील आणि x=10 असताना y=6 असेल, तर x=12 असताना y ची किंमत किती?
A
5
B
8
C
4
D
7.2