परिचय
गणितामध्ये संख्यांवरील क्रिया करताना विभाज्य आणि विभाजक समजून घेणे खूप महत्त्वाचे आहे. जेव्हा आपण एखाद्या संख्येला दुसऱ्या संख्येने भागतो आणि बाकी 0 उरते, तेव्हा त्या संख्यांमध्ये एक खास नाते तयार होते. हे नाते ओळखण्यासाठी आपण 'विभाज्यतेच्या कसोट्या' वापरतो.
भागाकार आणि विभाज्यतेच्या कसोट्यांचे स्पष्टीकरण
संकल्पना स्पष्टीकरण
भागाकारामध्ये ज्या संख्येला भागले जाते तिला 'विभाज्य' (Dividend) म्हणतात आणि ज्या संख्येने भागले जाते तिला 'विभाजक' (Divisor) म्हणतात. जर बाकी शून्य आली, तर ती संख्या पूर्णतः विभाज्य असते.
उप-विषय
विभाज्य, विभाजक व विभाज्यतेच्या कसोटया
विभाज्यतेच्या कसोट्या आपल्याला भागाकार न करताच संख्या कोणत्या अंकाने विभाज्य आहे हे सांगण्यास मदत करतात. जसे की, ज्या संख्येच्या शेवटी 0, 2, 4, 6, 8 असते, तिला 2 ने पूर्ण भाग जातो.
| संख्या | कसोटी | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | एकक स्थानी 0, 2, 4, 6, 8 असल्यास. | 548, 1020 |
| 3 | अंकांच्या बेरजेला 3 ने भाग जात असल्यास. | 123 (1+2+3=6) |
| 4 | शेवटच्या दोन अंकांना 4 ने भाग जात असल्यास. | 1244 (44 ÷ 4 = 11) |
| 5 | एकक स्थानी 0 किंवा 5 असल्यास. | 75, 100 |
| 6 | 2 आणि 3 या दोन्ही कसोट्या लागू होत असल्यास. | 18, 36 |
| 8 | शेवटच्या तीन अंकांना 8 ने भाग जात असल्यास. | 1048 (048 ÷ 8 = 6) |
| 9 | अंकांच्या बेरजेला 9 ने भाग जात असल्यास. | 729 (7+2+9=18) |
| 10 | एकक स्थानी 0 असल्यास. | 500, 1010 |
| 11 | विषम व सम स्थानच्या अंकांच्या बेरजेतील फरक 0 किंवा 11 च्या पटीत असल्यास. | 1331 (1+3=4, 3+1=4; 4-4=0) |
उदाहरणे
उदाहरण 1: 3 ची कसोटी तपासा
ट्रीकी उदाहरण (Tricky Example)
ट्रिक्स आणि शॉर्टकट
* 9 ची कसोटी: संख्येतील अंकांची बेरीज 9 च्या पाढ्यात असेल तर ती संख्या 9 ने विभाज्य असते.
* 10 ची कसोटी: ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 असतो, ती 10 ने विभाज्य असते.
* जर तुम्हाला 4 ची कसोटी आठवत नसेल, तर संख्येला दोनदा अर्धे करा. जर दोन्ही वेळा पूर्ण भाग गेला, तर ती 4 ने विभाज्य आहे!
सामान्य चुका
* चूक: 3 ची कसोटी वापरताना फक्त शेवटचा अंक पाहणे. सुधारणा: सर्व अंकांची बेरीज करणे आवश्यक आहे.
* चूक: सम संख्या नेहमी 4 ने विभाज्य असतात असे मानणे. सुधारणा: शेवटच्या दोन अंकांना 4 ने भाग जाणे गरजेचे आहे.
सराव प्रश्न
सोपे प्रश्न (Easy)
- खालीलपैकी कोणती संख्या 2 ने विभाज्य आहे? (15, 22, 31)
- संख्या 50 चा विभाजक 5 आहे का?
- (ट्रीकी) सर्वात लहान विभाजक कोणता जो प्रत्येक संख्येला भाग देतो?
मध्यम प्रश्न (Medium)
- 456 ही संख्या 3 ने विभाज्य आहे का ते तपासा.
- जर 24X ही संख्या 9 ने विभाज्य असेल, तर X ची किंमत काय?
- (ट्रीकी) अशी संख्या सांगा जी 2 आणि 3 दोन्हीने विभाज्य आहे परंतु 4 ने नाही.
कठीण प्रश्न (Hard)
- 73*4 या संख्येत * च्या जागी कोणता अंक असावा जेणेकरून ती 4 ने विभाज्य होईल?
- विभाज्यतेच्या कसोट्या वापरून 1080 ही संख्या 2, 3, 5, 9 आणि 10 ने विभाज्य आहे का ते ठरवा.
- (ट्रीकी) एक संख्या 2 आणि 5 ने विभाज्य आहे. ती संख्या 10 ने विभाज्य असेलच का? कारण स्पष्ट करा.
सारांश
विभाजक म्हणजे भागणारी संख्या आणि विभाज्य म्हणजे जिला भागले जाते. कसोट्यांमुळे वेळ वाचतो आणि मोठ्या संख्यांचे भाग ओळखणे सोपे जाते. शून्याला कोणत्याही संख्येने भागले तरी ती विभाज्य मानली जाते.