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भूमिति - पायथागोरस का सिद्धांत
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परिचय

पायथागोरस का सिद्धांत ज्यामिति का एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम है। यह केवल समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) पर लागू होता है। इसके माध्यम से हम त्रिभुज की अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

 

 

संकल्पना समझ

समकोण त्रिभुज में ९० डिग्री के कोण के सामने वाली भुजा को 'कर्ण' कहते हैं। यह त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है।

सूत्र: आधार2 + लंब2 = कर्ण2

उप-विषय

भूमिति - पायथागोरस का सिद्धांत

यह सिद्धांत कहता है कि कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: दीवार और सीढ़ी

एक 13 मीटर लंबी सीढ़ी एक दीवार के सहारे टिकी है। यदि सीढ़ी का निचला हिस्सा दीवार से 5 मीटर दूर है, तो दीवार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

चरण 1: कर्ण = 13, आधार = 5, लंब (ऊंचाई) = h
चरण 2: 52 + h2 = 132 → 25 + h2 = 169
उत्तर: h2 = 144, इसलिए ऊंचाई = 12 मीटर।
Tricky Example: पार्क का चक्कर

एक लड़का एक वर्गाकार पार्क के कोने 'A' से कोने 'C' तक सीधे विकर्ण (diagonal) पर चलता है। यदि पार्क की एक भुजा 70 मीटर है, तो उसने कुल कितनी दूरी तय की?

चरण 1: वर्ग का विकर्ण एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ दोनों भुजाएं 70 मीटर हैं।
उत्तर: 702 + 702 = 4900 + 4900 = 9800. दूरी = √9800 ≈ 98.99 मीटर।

ट्रिक्स और शॉर्टकट

  • पायथागोरस ट्रिपलेट्स: (3, 4, 5), (8, 15, 17) जैसे समूहों को याद रखने से गणना तेज हो जाती है।
  • इकाई अंक: यदि बड़ी गणना हो, तो वर्गों के इकाई अंक (Unit digit) की जाँच करके उत्तर का अनुमान लगाएं।

सामान्य गलतियाँ

  • गलत भुजा का चयन: हमेशा याद रखें कि सबसे बड़ी संख्या ही कर्ण हो सकती है।
  • जोड़ने में गलती: पहले संख्याओं का वर्ग करें, फिर उन्हें जोड़ें। (a+b)2 और a2 + b2 अलग-अलग होते हैं।

अभ्यास प्रश्न

आसान प्रश्न (Easy)

  1. एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं। कर्ण की लंबाई क्या होगी?
  2. यदि कर्ण 10 सेमी और आधार 6 सेमी है, तो लंब ज्ञात करें।
  3. Real-Life: एक दरवाजा 8 फीट ऊंचा और 6 फीट चौड़ा है। इसके विकर्ण की लंबाई क्या होगी?

मध्यम प्रश्न (Medium)

  1. एक आयत की लंबाई 15 सेमी और चौड़ाई 8 सेमी है। इसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
  2. Tricky: क्या भुजाएं 10, 24, और 26 एक समकोण त्रिभुज बना सकती हैं?
  3. Real-Life: एक खंभे की परछाई 12 मीटर है और खंभे की ऊंचाई 9 मीटर है। खंभे के शीर्ष से परछाई के अंत तक की दूरी क्या है?

कठिन प्रश्न (Hard)

  1. एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज (Isosceles Right Triangle) का कर्ण 8√2 सेमी है। इसकी अन्य भुजाएं ज्ञात करें।
  2. Tricky Real-Life: एक जहाज बंदरगाह से 24 किमी उत्तर और फिर 7 किमी पूर्व की ओर जाता है। वह बंदरगाह से कितनी सीधी दूरी पर है?
  3. एक 25 मीटर लंबी सीढ़ी एक खिड़की तक पहुँचती है जो जमीन से 24 मीटर ऊपर है। दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी ज्ञात कीजिए।

सारांश

पायथागोरस का सिद्धांत समकोण त्रिभुज के लिए a2 + b2 = c2 सूत्र प्रदान करता है। कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है। दैनिक जीवन में इसका उपयोग दूरियाँ मापने में किया जाता है।

30-60-90 माप वाले त्रिभुज में, सबसे छोटी भुजा 8 सेमी है, सबसे लंबी भुजा (विकर्ण) और शेष भुजा का योग क्या है?

A
    
16 सेमी
B
    
24 सेमी
C
    
16 + 8√3 सेमी
D
    
24.5 सेमी
Explaination

यदि PA, QB (PA = QB) के समान ऊंचाई है, तो समकोण त्रिभुज PAS में आधार SA की लंबाई खींचने के लिए सही व्यवस्था खोजें।

A
    
SA² = 20² + PA²
B
    
SA² = 20² - PA²
C
    
SA = 20 - PA
D
    
SA² = PA² - 20²
Explaination
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