गणित में 'विभाज्यता' (Divisibility) का अर्थ है कि एक संख्या दूसरी संख्या से पूरी तरह कट जाए और शेषफल 0 बचे। विभाज्यता की कसौटियाँ हमें बिना लंबा भाग किए यह जानने में मदद करती हैं कि कौन सी संख्या किससे विभाजित होगी।
विभाज्य और विभाज्यता की कसौटियों का शैक्षिक चित्रण
संकल्पना समझ
भाज्य (Dividend) वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है, और विभाजक (Divisor) वह है जिससे भाग दिया जाता है। जब शेषफल शून्य होता है, तब भाज्य उस विभाजक से 'विभाज्य' कहलाता है।
उप-विषय
विभाज्य तथा विभाज्यता की कसौटियाँ
2 की कसौटी: इकाई अंक 0, 2, 4, 6, 8 होना चाहिए। 5 की कसौटी: इकाई अंक 0 या 5 होना चाहिए। ये नियम बड़े गणनाओं को सरल बनाते हैं।
| संख्या | नियम (Test) | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, या 8 हो। | 452, 980 |
| 3 | सभी अंकों का जोड़ 3 से विभाजित हो। | 513 (5+1+3=9) |
| 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाजित हों। | 728 (28 ÷ 4 = 7) |
| 5 | इकाई अंक 0 या 5 हो। | 65, 2100 |
| 6 | जो संख्या 2 और 3 दोनों से कटे। | 54, 120 |
| 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाजित हों। | 4832 (832 ÷ 8 = 104) |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाजित हो। | 999 (9+9+9=27) |
| 10 | अंत में 0 हो। | 80, 5000 |
| 11 | विषम और सम स्थान के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 हो। | 1331 (1+3=4, 3+1=4; 4-4=0) |
उदाहरण
उदाहरण 1: 5 की विभाज्यता
ट्रिकी उदाहरण (Tricky Example)
ट्रिक्स और शॉर्टकट
* 3 और 9 का नियम समान है: अंकों का योग करके देखें।
* 4 का शॉर्टकट: केवल अंतिम दो अंकों को 4 से भाग देकर देखें।
* अगर आपको 4 वाला टेस्ट याद नहीं है, तो नंबर को दो बार आधा कर दें। अगर पूरी संख्या को दोनों बार डिवाइड किया जाए, तो वह 4 से डिवाइड हो जाएगी!
सामान्य गलतियाँ
* गलती: यह सोचना कि जो संख्या 3 से विभाज्य है, वह 9 से भी होगी। सुधार: 6 संख्या 3 से विभाज्य है पर 9 से नहीं।
* गलती: 0 से भाग देना। सुधार: किसी भी संख्या को 0 से भाग नहीं दिया जा सकता (अपरिभाषित)।
अभ्यास प्रश्न
आसान प्रश्न (Easy)
- संख्या 100 का इकाई अंक क्या है? क्या यह 2 से विभाज्य है?
- 81 ÷ 9 में विभाजक (Divisor) कौन सा है?
- (ट्रिकी) क्या प्रत्येक सम संख्या 2 से विभाज्य होती है?
मध्यम प्रश्न (Medium)
- संख्या 567 के अंकों का योग क्या है? क्या यह 9 से विभाज्य है?
- क्या 1024 संख्या 4 से विभाज्य है?
- (ट्रिकी) ऐसी सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो 2, 3 और 5 तीनों से विभाज्य है?
कठिन प्रश्न (Hard)
- संख्या 8A4 में 'A' का मान क्या हो कि संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित हो जाए?
- सिद्ध करें कि 1000 संख्या 2, 4, 5, 8 और 10 से विभाज्य है।
- (ट्रिकी) यदि किसी संख्या के अंकों का योग 15 है, तो क्या वह संख्या 3 और 9 दोनों से विभाज्य होगी? समझाइए।
सारांश
विभाज्य और विभाजक के बीच के संबंध को समझना गणित की नींव है। विभाज्यता की कसौटियाँ (2, 3, 4, 5, 9, 10) हमें यह पहचानने में मदद करती हैं कि गुणनखंड (Factors) कैसे निकालें। शून्य को छोड़कर हर संख्या स्वयं का विभाजक होती है।
अंतिम दो अंक: 89।
89÷4 : 4 x 22 = 88.
शेष = 89 - 88 = 1.